Tentukanhimpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan memakai metode campuran. x + 3y + 2z = 16 2x + 4y - 2z = 12 x + y + 4z = 20 Pembahasan : Langkah pertama kita eliminasi salah satu peubah dalam SPLTV sehingga diperoleh SPLDV. x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32 2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y Desem. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sebuah persamaan yang terdiri atas tiga persamaan linear yang masing-masing persamaan memiliki tiga variabel yang berpangkat satu. Untuk lebih jelasnya pahami dahulu konsep persamaan linear tiga variabel sebagai berikut. ax + by + cz = d. PengertianMetode Gauss. Jordan Prosedur untuk mengubah sebarang matriks ke bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan. DASAR TEORI • Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal • Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai b 1, b 2, b 3, , bn dan atau a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3=b 3 cash. Matematika Dasar » Sistem Persamaan Linear › Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan dua cara yakni cara substitusi dan eliminasi. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel SPLDV, kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dengan dua cara atau metode, yakni metode substitusi dan metode eliminasi. Metode Substitusi Berikut adalah langkah-langkah untuk menerapkan metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV Ubah salah satu persamaan pada sistem persamaan dan nyatakan \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\, atau \y\ sebagai fungsi dari \x\ dan \z\, atau \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\. Substitusi fungsi \x\ atau \y\ atau \z\ dari Langkah 1 pada dua persamaan lain sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel SPLDV. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV tersebut. Kita telah membahas penyelesaian SPLDV, sehingga tidak akan dijelaskan lagi di sini. Contoh 1 Tentukan nilai \x\, \y\ dan \z\ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut. Pembahasan Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ubah persamaan pertama anda bebas mengubah persamaan manapun sehingga diperoleh \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\, yakni Langkah 2 Substitusi persamaan iv ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai \x\ dan \y\, yakni \x = -5\ dan \y = -3\. Dengan mensubstitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan iv, kita peroleh nilai \z\ yakni Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x = -5, \ y = -3, \ z = 2\ atau kita nyatakan dengan \x,y,z= -5,-3,2\. Perhatikan bahwa dari Contoh 1, kita hanya menggunakan dua langkah dan berhasil mendapatkan nilai \x\ dan \y\ sehingga kita tidak memerlukan langkah 3. Ini hanya kebetulan saja. Sering kali, kita harus menggunakan langkah ketiga. Oleh karena itu, kita akan memberikan satu Contoh lagi. Contoh 2 Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut ini dengan metode substitusi. Pembahasan Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana dari ketiga persamaan yang ada. Dalam hal ini, persamaan pertama tampak lebih sederhana sehingga kita ubah persamaan pertama dan diperoleh \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\. Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 2. Kita peroleh Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 3. Kita peroleh Persamaan v dan vi membentuk sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dalam variabel \y\ dan \z\, yakni Kita akan menyelesaikan SPLDV ini, sehingga diperoleh nilai untuk variabel \y\ dan \z\. Dari persamaan vi, kita peroleh Substitusi variabel \y\ ke dalam persamaan persamaan v, sehingga diperoleh Substitusi nilai \z = 7\ yang kita peroleh di atas ke salah satu persamaan SPLDV, misalnya \y - z = -4\. Kita peroleh Terakhir, substitusi nilai \y = 3\ dan \z = 7\ ke salah satu dari SPLTV, misalnya \ x-2y + z = 6 \ sehingga kita peroleh Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi SPLTV tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, 7\. Metode Eliminasi Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menerapkan metode eliminasi Ambil sembarang dua persamaan dari tiga persamaan yang ada misal persamaan 1 dan 2, atau persamaan 1 dan 3 atau persamaan 2 dan 3. Lalu, menyamakan salah satu koefisien dari variabel \x\ atau \y\ atau \z\ dari kedua persamaan yang diambil dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai. Setelah itu, eliminasi atau hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel. Lakukan hal yang sama seperti Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Dari Langkah 1 dan 2, kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel. Lalu, selesaikan SPLDV tersebut. Tuliskan penyelesaiannya dalam \x,y,z\. Contoh 3 Carilah nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel berikut Pembahasan Kita akan menggunakan metode eliminasi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ambil dua persamaan yakni persamaan 1 dan 2. Karena koefisien variabel \z\ adalah sama, maka kita akan eliminasi variabel \z\ dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel yakni \x\ dan \y\. Langkah 2 Ulangi Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Kita ambil pasangan persamaan 2 dan 3. Kita perlu eliminasi variabel z dengan cara mengalikan persamaan 2 dengan nilai 2 dan persamaan tiga dengan nilai 1, yakni Langkah 3 Dari Langkah 2, kita peroleh nilai \x = 5\. Dengan substitusi nilai \x\ ke persamaan iv kita peroleh nilai \y\, yakni Substitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan 2 anda bebas memilih salah satu dari tiga persamaan yang diberikan pada soal. Kita peroleh Langkah 4 Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, -1\. Cukup sekian ulasan singkat mengenai cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan. Sistem persamaan linear SPL adalah beberapa persamaan linear yaitu suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan 1. Cara menyelesaikan SPL dengan matriks dapat menjadi alternatif penyelesaian sistem persamaan linear yang memiliki banyak varibel. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamana linear antara lain metode subtitusi, eliminasi, dan campuran. Selain itu cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks juga dapat digunakan. Penyelesaian sistem persamaan linear berupa nilai-nilai varibel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem persamaan linear. Matriks sendiri adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom, di mana baris dan kolom matrik menyatakan ukuran matriks. Misalnya suatu matriks diketahui memiliki ukurab 3 x 3, artinya matriks tersebut terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Isi baris dan kolom pada matriks adalah bilangan-bilangan, sehingga pada matriks dengan ukuran 3 x 3 memuat 9 bilangan. Contoh lain, matriks dengan ukuran 2 x 3 artinya matriks memiliki dua baris dan tiga kolom. Berbeda dengan matriks dengan ukuran 3 x 2 yang artinya matriks memiliki tiga baris dan dua kolom. Baca Juga Operasi Hitung pada Matriks Suatu bentuk sistem persamaan linear dapat dibawa ke dalam bentuk matriks. Dari bentuk matriks yang diperoleh kemudian dapat diselesaikan sehingga diperoleh nilai-nilai dari variabel yang memenuhi sistem persamaan linear. Itulah salah satu fungsi dari matriks yaitu untuk menyelesaikan SPL dengan matriks. Bagaimana cara mebentuk sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks? Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear SPL dengan matriks? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah. Table of Contents Cara Menyelesaikan SPL dengan Matriks untuk 2 Variabel Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks Cara Menyelesaikan SPL dengan Matriks untuk 2 Variabel Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear SPL dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Diketahui sistem persamaan linear dengan dua varibel yaitu ax + by = c dan px + qy = r. Bentuk sistem persamaan linear dua varibel tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks seperti berikut. Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut. Selain cara di atas, penyelesaian matriks untuk mendapatkan nilai x dan y juga dapat dilakukan dengan nilai determinan matriks D. Contoh cara menyelesaikan SPL dengan matriks pada sistem persamaan linear dengan dua variabel dapat dilihat seperti pada pembahasan di bawah. SoalTentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear 2x + y = 5 dan x + y = 7! PenyelesaianBentuk matriks yang sesuai dengan sistem persamaan linear 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah sebagai berikut. Dengan menyelesaikan operasi matriks untuk variabel x dan y di ruas kiri dan yang lain di ruas kanan maka selanjutnya dapat diperoleh nilai x dan y. Cara menyelesaikan SPL dengan matriks untuk soal seperti di atas dapat diselesaikan seperti cara berikut. Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah x = –2 dan y = 9. Baca Juga Pengertian Matriks dan Sifat-Sifatnya Cara menyelesaikanSPL dengan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV. Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV menggunakan matriks. Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan zax + by + cz = dpx + qy + rz = skx + ly + mz = n Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut. Baca Juga Cara Menentukan Invers Matriks Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah. Determinan utama Determinan variabel x Determinan variabel y Determinan variabel z Selanjutnya, nilai dari ketiga variabel yaitu x, y, dan z dapat dihitung melalui persamaan di bawah. 2x + y – z = 1 x + y + z = 6 x – 2y + z = 0 Penyelesaian Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut. 2x + y – z = 1 …………… Pers. 1 x + y + z = 6 …….……… Pers. 2 x – 2y + z = 0 …………… Pers. 3 Kemudian, persamaan 1, 2, dan 3 kita susun dalam bentuk matriks berikut. AX = B Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut. 2 1 −1 x = 1 1 1 1 y 6 1 −2 1 z 0 Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Menentukan determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = 2 1 −1 2 1 1 1 1 1 1 1 −2 1 1 −2 Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut. det A = [211 + 111 + −11−2] – [11−1 + −212 + 111] det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1] det A = 5 – −4 det A = 9 Adjoin matriks A Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Menentukan matriks kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = −11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M11 = 1 1 = [11] – [−21] = 3 −2 1 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = −11 + 1 3 = 3 K12 = −11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M12 = 1 1 = [11] – [11] = 0 1 1 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = −11 + 2 0 = 0 K13 = −11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M13 = 1 1 = [1−2] – [11] = −3 1 −2 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = −11 + 3 −3 = −3 K21 = −12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M21 = 1 −1 = [11] – [−2−1] = −1 −2 1 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = −12 + 1 −1 = 1 K22 = −12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M22 = 2 −1 = [21] – [1−1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = −12 + 2 3 = 3 K23 = −12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M23 = 2 1 = [2−2] – [11] = −5 1 −2 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = −12 + 3 −5 = 5 K31 = −13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M31 = 1 −1 = [11] – [1−1] = 2 1 1 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = −13 + 1 2 = 2 K32 = −13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M32 = 2 −1 = [21] – [1−1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = −13 + 2 3 = −3 K33 = −13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M33 = 2 1 = [21] – [11] = 1 1 1 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = −13 + 3 1 = 1 Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut. K11 = 3 K21 = 1 K31 = 2 K12 = 0 K22 = 3 K32 = −3 K13 = −3 K23 = 5 K33 = 1 Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = 3 0 −3 1 3 5 2 −3 1 Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. [kofA]T = 3 1 2 0 3 −3 −3 5 1 Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = 3 1 2 0 3 −3 −3 5 1 Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B x = 1 adj 2 1 −1 1 y 1 1 1 6 det A z 1 −2 1 0 x = 1 3 1 2 1 y 0 3 −3 6 9 z −3 5 1 0 x = 3/9 1/9 2/9 1 y 0/9 3/9 −3/9 6 z −3/9 5/9 1/9 0 x = 3/9 × 1 + 1/9 × 6 + 2/9 × 0 y 0/9 × 1 + 3/9 × 6 + −3/9 × 0 z −3/9 × 1 + 5/9 × 6 + 1/9 × 0 x = 3/9 + 6/9 + 0 y 0 + 18/9 + 0 z −3/9 + 30/9 + 0 Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {1, 2, 3}. Materi

penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks